从古至今，人们对“美”的探索从未停止。在对形式美的追求过程中，人们在生产实践探索过程中逐渐总结出来了一些形式美的规律，其中，“美学比例”是这些美学规律中占据着十分重要的地位。从历史上的绘画、建筑到如今的平面设计，许多视觉的表达都有着美学比例的影子。所谓比例，就是一个物体在整体上与局部、局部与局部之间的数量关系。其中为代表的便是“黄金比例”和“白银比例”这两种经典的比例。
1 黄金比例与白银比例
1.1 黄金比例
图 1-1
如上图（甲）所示，将线段 \(l\) 分成两部分 \(a\) 和 \(b\) ，使得这个线段的整体与局部满足如下数量关系：线段 \(l\) 的整体长度与较长部分 \(a\) 之比等于较长部分 \(a\) 与较短部分 \(b\) 之比，即：
\[\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} =\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}
\]
得到的这个比例便是黄金比例（Golden Ratio），通常用希腊字母 \(\varphi\) 表示。在实际运用中，由于线段之比总是正数，因此需要舍去负根。计算可得：
\[\begin{aligned}
\varphi &= \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 \\
\overline{\varphi} &= \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618
\end{aligned}
\]
注意到此处 \(\varphi\) 与 \(\overline{\varphi}\) 是一对共轭解，不难发现：
\[\varphi + \overline{\varphi} =\varphi - \frac{1}{\varphi}= 1
\]
因此， \(\varphi\) 的倒数的相反数是 \(\overline{\varphi}\) ：
\[\overline{\varphi} = -\frac{1}{\varphi}
\]
如图1-1（乙）所示，设想有一个边长符合黄金比的矩形（长宽之比为 \(\varphi\)），那么可以将这个矩形分割为一个正方形和另一个较小的符合黄金比的矩形，并且可以重复此操作无限分割下去。这样的矩形被称为“黄金矩形”。分别以这些黄金矩形内最大正方形的边长为半径构建四分之一圆，并按相同的方向连接起来，就可以得到黄金螺旋。
在图 1-1（甲）中， \(a\) 部分与线段 \(l\) 整体长度之比等于另一部分 \(b\) 与 \(a\) 部分之比，可以将这个比值称为“黄金分割”。不难发现，黄金分割是黄金比例 \(\varphi\) 的倒数，即：
\[\frac{a}{a+b} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618
\]
这个按\(\frac{\sqrt{5}-1}{2} : 1\)的比例将线段分成两部分的分割点也叫黄金分割点，也就是图 1-1（甲）中的点\(A\)。由于线段的对称性可知，一条线段可以有两个黄金分割点。黄金分割更强调整体与部分之间的关系——按一定的比例对整体进行分割。
黄金比具有严格的艺术感、和谐感，蕴藏丰富的美学价值，它被广泛运用于绘画、建筑、平面设计等领域。
1.2 白银比例
图 1-2
如上图（甲）所示，将线段 \(l\) 分成三部分，其中两部分为等长的 \(a\)，另外一分部为较短的 \(b\)，使得这个线段的整体与局部满足如下数量关系：线段 \(l\) 的整体长度与一个较长部分 \(a\) 之比等于较长部分 \(a\) 与较短部分 \(b\) 之比，即：
\[\frac{2a+b}{a} = \frac{a}{b} =1\pm\sqrt{2}
\]
得到的这个比例便是白银比例（Silver Ratio），通长用 \(\delta_S\) 表示。同样地，需要舍去负根，即：
\[\delta_S =1+\sqrt{2} \approx 2.414
\]
如图1-2（乙）所示，设想有一个边长符合白银比的矩形（长宽之比为 \(\delta_S\)），那么可以将这个矩形分割为两个正方形和另一个较小的符合白银比的矩形，并且可以重复此操作无限分割下去。
在图 1-2（甲）中，为了构造白银比例，线段 \(l\) 有两个等长的部分 \(a\) 和较短的部分 \(b\)，那么 \(a\) 部分与线段 \(l\) 整体长度之比等于另一较短部分 \(b\) 与 \(a\) 之比，这个比值可以称为“白银分割”。类似黄金分割，其数值为白银比例 \(\delta_S\) 的倒数：
\[\frac{a}{2a+b} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\delta_S} = \sqrt{2}-1 \approx 0.414
\]
这个按\(\sqrt{2}-1:1\)的比例将线段分成两部分的分割点也叫白银分割点，同样地由于对称性，一条线段的白银分割点有两个，在图 1-2（甲）中，点\(A\)和点\(B\)均为白银分割点。
2 贵金属比例
上文构建比例的操作有一个共性——将一个线段分为 \(n\) 个长度相等的部分 \(a\) 和一个最短的部分 \(b\)，并让它们满足一个简单的数量关系：线段整体长度与其中一个相等的部分 \(a\) 之比等于局部长度 \(a\) 与 \(b\) 之比。即：
\[\sigma_n = \frac{na+b}{a} = \frac{a}{b}
\]
将这个比例记为 \(\sigma_n\)（舍去负根），不难得到：
\[\boxed{
\sigma_n = \frac{n + \sqrt{n^2+4}}{2}:1 \qquad n = 1, 2,3,...
}
\]
这个比例被称为贵金属比例（Metallic Ratio），随 \({\displaystyle n}\) 值的变化，可称之为第\({\displaystyle n}\)贵金属比例。特别地，\(n=1\)的贵金属比例又叫黄金比例；\(n=2\)的贵金属比例又叫白银比例；\(n=3\)的贵金属比例又叫青铜比例。
若\(\sigma_n\)的共轭解用 \(\overline{\sigma_n}\) 表示，那么\(\overline{\sigma_n}\)等于其共轭解的倒数的相反数：
\[\overline{\sigma_n } = -\frac{1}{\sigma_n}
\]
在对 \(\sigma_n\) 进行求解的过程中不难发现，第 \(n\) 贵金属比例等于它的倒数加上 \(n\)，即：
\[\sigma_n = \frac{1}{\sigma_n} + n
\]
贵金属比例总是可以用连分数来表示：
\[\sigma_n = [n;n,n,n,...] =n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+...}}}
\]
3 白银分割与“方五斜七”
从上文对白银比例的研究中可知，如图 1-2（甲）中线段 \(l\) 被白银分割点分成了两部分：\(a\) 与 \(a + b\)，考查这两部分之间的比例关系，即较长部分 \(a + b\) 与较短部分 \(a\) 之比为：
\[\frac{a+b}{a} = \sqrt{2}
\]
\(\sqrt{2}:1\)这一比例在中国古代有着十分广泛的应用。然而在古代，人们并不是通过白银比例将其计算出来的。《九章算术（卷九）》中提到：“‘圆三、径一，方五斜七’。虽不正得尽理，亦可言相近耳。”意思是：圆的周长约为直径的三倍，正方形边长为五时对角线约为七。虽然这些数值并非完全精确，但也算得上接近实际情况了。
图 3-1
在由宋代建筑学家李诫所编著的建筑文献《营造法式》中，这一比例原则直接应用于建筑设计。如图 3-1《营造法式•卷二十九》中的“圜方方圜图”，其中分别有一个正方形外接圆和一个正方形内切圆。无论是正方形的内切圆还是外接圆，都揭示了正方形的边长、对角线和圆直径之间的数量关系——\(\sqrt{2}\)。
正如上文所说，这个比例规律的一个口诀——“方五斜七”——可以认为是中国古代匠人对无理数 \(\sqrt{2}\) 的近似表达，这一比例也自古为工匠所习用，得到了广泛的运用。但是李诫显然并不满足于这一近似的比例，为此，他给出了一个更为精确的数值——141:100。如图 3-2，在《营造法式补遗》中，写到：“若用旧例，以围三径一、方五斜七为据，则疏略颇多。……方一百，其斜一百四十有一。……圜径内取方一百中得七十有一。”也就是边长为100的正方形对角线长为141，直径为100的圆内接正方形的边长为71。这一比例显然更接近白银分割后的比例关系。
图 3-2
如图 3-3，取一边长为 \(a\) 的正方形ABCD，分别以对角线AC和BD作圆弧交CB和DA的延长线于点F和点E，这样可以得到矩形EFCD。不难发现这个矩形的长宽比便是\(\sqrt{2}\)，而去除矩形内最大的正方形后得到的小矩形EFBA的长宽比正好是\(1+\sqrt{2}\)——白银比例。
图 3-3
以上事例表明，中国古人在对方与圜关系的研究中领略到\(\sqrt{2}:1\)这一比例，并将其运用到实际领域中去。这一比例被广泛应用所反映的实则是中国古人特有的“天圆地方”的宇宙观。
4 美学比例的运用
在实际运用中，美学比例主要是物体整体与部分之间的数量关系——可以是整体与部分之间的比例，也可以是部分与部分之间的比例，亦或是这两者层层嵌套的比例关系。
美学比例有时候可以是一种创造力的解放。美学比例是人们对于美的规律的长期观察、实践一种总结，也是一种实用的经验工具。这些比例关系在视觉上被普遍认为是和谐的、赏心悦目的。这种和谐本身所具备的美感能够让作品更能为大众所感知与理解。而恰当地善用比例关系能让作品设计变得事半功倍。
然而美学比例有时也可能是一种枷锁。美学比例的一大使用误区便是将其盲目崇拜、教条化与滥用。它并非一个万能的公式，也不是可以一劳永逸的东西。有时候机械地应用美学比例可能会适得其反，甚至会变成创意的一个枷锁。在实际设计过程中，还需要对作品进行多方面的考量。机械地套用某个比例关系可能还会牺牲另一些更加重要的东西，出现本末倒置的情况。
美学比例是创造力解放的工具还是一种无形的枷锁？这取决于是否能够灵活、恰当、合适地使用它。须知美学比例只是一个构思的起点，需要服务于终点——作品的表达。